Um quadratische Gleichungen mit der quadratischen Ergänzungsmethode zu lösen, folge den nachstehenden Schritten:

1. Schritt: Stelle die quadratische Gleichung in die Standardform „ax^2 + bx + c = 0“, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0.
2. Schritt: Überprüfe, ob der Koeffizient von x^2, a, gleich 1 ist. Falls nicht, teile die gesamte Gleichung durch a, um den Koeffizienten von x^2 auf 1 zu bringen.
3. Schritt: Führe die quadratische Ergänzung durch, indem du den Koeffizienten von x, b, halbierst und das Quadrat dieser Hälfte addierst und subtrahierst. Das heißt, füge (b/2)^2 zur Gleichung hinzu und subtrahiere es sofort wieder, um die Gleichung auszugleichen.
4. Schritt: Schreibe die Gleichung nun als quadratischen Binom (auch bekannt als vollständiges Quadrat) um und gruppiere die entsprechenden Terme.
5. Schritt: Vereinfache die Gleichung und bringe sie in die Form „(x ± k)^2 = d“, wobei k eine Konstante und d der verbleibende Term ist.
6. Schritt: Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung, um die quadratische Wurzel zu eliminieren und die Gleichung zu lösen.
7. Schritt: Löse die beiden resultierenden Gleichungen, eine mit „+“ und eine mit „-„, um die beiden möglichen Lösungen zu erhalten.
8. Schritt: Überprüfe die Lösungen, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Wenn sie die Gleichung erfüllen, sind sie korrekte Lösungen.

Hier ist ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Angenommen, wir haben die quadratische Gleichung: x^2 + 6x + 9 = 0.

1. Überprüfung: Der Koeffizient von x^2 ist bereits 1.
2. Quadratische Ergänzung: Addiere und subtrahiere (6/2)^2 = 9 zur Gleichung: x^2 + 6x + 9 + 9 – 9 = 0.
3. Umformung: Schreibe die Gleichung als quadratisches Binom: (x + 3)^2 = 0.
4. Vereinfachung: Vereinfache die Gleichung: x + 3 = 0.
5. Wurzelziehen: Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: √(x + 3) = √0.
6. Lösung: Löse die Gleichung: x + 3 = 0. x = -3.

Die Lösung der quadratischen Gleichung x^2 + 6x + 9 = 0 ist x = -3.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle quadratischen Gleichungen lösbar sind, und manchmal kann es mehrere Lösungen oder keine reellen Lösungen geben.