Wie löst man quadratische Gleichungen mit der quadratischen Ergänzungsmethode?

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Wie löst man quadratische Gleichungen mit der quadratischen Ergänzungsmethode?

Wie löst man quadratische Gleichungen mit der quadratischen Ergänzungsmethode?

Walther Bruhn Changed status to publish 5. Juni 2023
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Um quadratische Gleichungen mit der quadratischen Ergänzungsmethode zu lösen, folge den nachstehenden Schritten:

  1. Schritt: Stelle die quadratische Gleichung in die Standardform „ax^2 + bx + c = 0“, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0.
  2. Schritt: Überprüfe, ob der Koeffizient von x^2, a, gleich 1 ist. Falls nicht, teile die gesamte Gleichung durch a, um den Koeffizienten von x^2 auf 1 zu bringen.
  3. Schritt: Führe die quadratische Ergänzung durch, indem du den Koeffizienten von x, b, halbierst und das Quadrat dieser Hälfte addierst und subtrahierst. Das heißt, füge (b/2)^2 zur Gleichung hinzu und subtrahiere es sofort wieder, um die Gleichung auszugleichen.
  4. Schritt: Schreibe die Gleichung nun als quadratischen Binom (auch bekannt als vollständiges Quadrat) um und gruppiere die entsprechenden Terme.
  5. Schritt: Vereinfache die Gleichung und bringe sie in die Form „(x ± k)^2 = d“, wobei k eine Konstante und d der verbleibende Term ist.
  6. Schritt: Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung, um die quadratische Wurzel zu eliminieren und die Gleichung zu lösen.
  7. Schritt: Löse die beiden resultierenden Gleichungen, eine mit „+“ und eine mit „-„, um die beiden möglichen Lösungen zu erhalten.
  8. Schritt: Überprüfe die Lösungen, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt. Wenn sie die Gleichung erfüllen, sind sie korrekte Lösungen.

Hier ist ein Beispiel zur Veranschaulichung:

Angenommen, wir haben die quadratische Gleichung: x^2 + 6x + 9 = 0.

  1. Überprüfung: Der Koeffizient von x^2 ist bereits 1.
  2. Quadratische Ergänzung: Addiere und subtrahiere (6/2)^2 = 9 zur Gleichung: x^2 + 6x + 9 + 9 – 9 = 0.
  3. Umformung: Schreibe die Gleichung als quadratisches Binom: (x + 3)^2 = 0.
  4. Vereinfachung: Vereinfache die Gleichung: x + 3 = 0.
  5. Wurzelziehen: Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten: √(x + 3) = √0.
  6. Lösung: Löse die Gleichung: x + 3 = 0. x = -3.

Die Lösung der quadratischen Gleichung x^2 + 6x + 9 = 0 ist x = -3.

Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle quadratischen Gleichungen lösbar sind, und manchmal kann es mehrere Lösungen oder keine reellen Lösungen geben.

Walther Bruhn Changed status to publish 5. Juni 2023
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