Mathematik: Fakultät, warum ist 0! = 1? kann man das herleiten?

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Mathematik: Fakultät, warum ist 0! = 1? kann man das herleiten?

Mathematik: Fakultät, warum ist 0! = 1? kann man das herleiten?

Walther Bruhn Changed status to publish 5. Juni 2023
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Ja, man kann herleiten, warum die Fakultät von 0, also 0!, den Wert 1 hat. Diese Herleitung beruht auf den grundlegenden Regeln der Fakultätsfunktion und dem Konzept des leeren Produkts.

Die Fakultät einer nicht-negativen ganzen Zahl n wird als das Produkt aller ganzen Zahlen von 1 bis n definiert. Formell schreibt man n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 3 * 2 * 1.

Wenn n = 0 ist, besteht das Produkt aus keiner Zahl, da es keine Zahlen von 1 bis 0 gibt. Auf den ersten Blick könnte man denken, dass das Produkt leer ist und somit den Wert 0 haben sollte.

Allerdings definiert man 0! speziell als den Wert 1. Das mag auf den ersten Blick verwirrend sein, aber es gibt gute Gründe dafür.

Eine wichtige Eigenschaft der Fakultät ist, dass für jede nicht-negativen ganzen Zahl n gilt: n! = n * (n-1)!. Das bedeutet, dass die Fakultät einer Zahl n gleich n multipliziert mit der Fakultät von (n-1) ist.

Wenn wir diese Eigenschaft auf n = 1 anwenden, erhalten wir: 1! = 1 * 0!.

Um den Wert von 0! zu bestimmen, können wir nun beide Seiten der Gleichung betrachten. Auf der linken Seite haben wir 1!. Auf der rechten Seite haben wir 1 multipliziert mit 0!.

Da 1! per Definition den Wert 1 hat, kann man die Gleichung umformen: 1 = 1 * 0!.

Wenn wir diese Gleichung lösen, teilen wir beide Seiten durch 1 und erhalten: 1/1 = 0!.

Da 1/1 den Wert 1 hat, lautet das Endergebnis: 1 = 0!. Das bedeutet, dass die Fakultät von 0 den Wert 1 hat.

Die Definition von 0! als 1 mag zunächst ungewöhnlich erscheinen, aber sie wurde aus mathematischen Gründen eingeführt, um die Konsistenz und Anwendbarkeit der Fakultätsfunktion zu gewährleisten.

Walther Bruhn Changed status to publish 5. Juni 2023
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