Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Kreise?

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Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Kreise?

Wie bestimmt man den Schnittpunkt zweier Kreise?

Walther Bruhn Changed status to publish 6. Juni 2023
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Um den Schnittpunkt zweier Kreise zu bestimmen, benötigst du die Gleichungen der beiden Kreise. Jede Kreisgleichung hat die Form:

(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2

Hier sind die Schritte, um den Schnittpunkt zu berechnen:

  1. Gegeben sind die Gleichungen der beiden Kreise: (x – h₁)^2 + (y – k₁)^2 = r₁^2 (x – h₂)^2 + (y – k₂)^2 = r₂^2

    Dabei sind (h₁, k₁) und (h₂, k₂) die Koordinaten der Mittelpunkte der Kreise und r₁ und r₂ sind die Radien der Kreise.

  2. Setze die Gleichungen der beiden Kreise gleich: (x – h₁)^2 + (y – k₁)^2 = r₁^2 (x – h₂)^2 + (y – k₂)^2 = r₂^2
  3. Vereinfache die Gleichungen und bringe sie in die Form ax + by = c: x^2 – 2h₁x + h₁^2 + y^2 – 2k₁y + k₁^2 = r₁^2 x^2 – 2h₂x + h₂^2 + y^2 – 2k₂y + k₂^2 = r₂^2

    Um die Gleichungen zu vereinfachen, erweitere die Klammern und führe die entsprechenden Terme zusammen.

  4. Subtrahiere eine Gleichung von der anderen, um eine lineare Gleichung zu erhalten: (x^2 – 2h₁x + h₁^2 + y^2 – 2k₁y + k₁^2) – (x^2 – 2h₂x + h₂^2 + y^2 – 2k₂y + k₂^2) = r₁^2 – r₂^2

    Führe die Subtraktion aus und vereinfache die Gleichung.

  5. Vereinfache die Gleichung weiter und bringe sie in die Form ax + by = c: (2h₂ – 2h₁)x + (2k₂ – 2k₁)y = c

    Hierbei ist c = r₁^2 – r₂^2 + h₁^2 – h₂^2 + k₁^2 – k₂^2.

  6. Löse die lineare Gleichung nach x oder y auf, indem du die Koeffizienten a, b und c verwendest.
  7. Setze den berechneten Wert für x oder y in eine der ursprünglichen Kreisgleichungen ein, um den entsprechenden Wert für den anderen Parameter zu berechnen.

    Beispiel: Angenommen, du hast den Wert für x berechnet und setzt ihn in die erste Kreisgleichung ein: (berechneter x-Wert – h₁)^2 + (y – k₁)^2 = r₁^2

    Löse diese Gleichung nach y auf, um den y-Wert zu erhalten.

Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Punkt (x, y), an dem sich die beiden Kurven schneiden. Beachte, dass es mehrere Schnittpunkte geben kann, je nach Lage und Größe der beiden Kreise.

Walther Bruhn Changed status to publish 6. Juni 2023
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