Wie löst man lineare Gleichungssysteme mit der Gaußschen Eliminationsmethode?

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Wie löst man lineare Gleichungssysteme mit der Gaußschen Eliminationsmethode?

Wie löst man lineare Gleichungssysteme mit der Gaußschen Eliminationsmethode?

Walther Bruhn Changed status to publish 6. Juni 2023
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Die Gaußsche Eliminationsmethode ist eine Methode zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Hier sind die Schritte, um lineare Gleichungssysteme mit der Gaußschen Eliminationsmethode zu lösen:

  1. Schreibe das lineare Gleichungssystem in erweiterte Koeffizientenform: a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂ … aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + … + aₘₙxₙ = bₘ

    Dabei sind a₁₁, a₁₂, …, aₘₙ die Koeffizienten der Variablen x₁, x₂, …, xₙ, und b₁, b₂, …, bₘ sind die Konstanten auf der rechten Seite der Gleichungen.

  2. Erstelle eine erweiterte Koeffizientenmatrix, indem du die Koeffizienten und die Konstanten in einer Matrix anordnest:

    | a₁₁ a₁₂ … a₁ₙ | | x₁ | | b₁ | | a₂₁ a₂₂ … a₂ₙ | | x₂ | = | b₂ | | … … … … | | … | | … | | aₘ₁ aₘ₂ … aₘₙ | | xₙ | | bₘ |

  3. Führe die Gaußsche Elimination durch, um die Matrix in eine obere Dreiecksform zu bringen. Dies erfolgt durch elementare Zeilenoperationen, bei denen du die Zeilen der Matrix addieren, subtrahieren oder multiplizieren kannst.

    a) Beginne mit der ersten Spalte und tausche gegebenenfalls Zeilen, um sicherzustellen, dass das erste Element in der ersten Zeile nicht null ist. Wenn es null ist, tausche die Zeile mit einer anderen Zeile darunter, bei der das Element nicht null ist.

    b) Dividiere die erste Zeile durch das erste Element, um eine führende Eins zu erhalten.

    c) Führe nun für jede Zeile darunter die folgenden Schritte aus:

    • Multipliziere die erste Zeile mit einem geeigneten Faktor und subtrahiere sie von der aktuellen Zeile, um das Element unter der führenden Eins zu null zu machen.

    d) Wiederhole die Schritte b) und c) für die nächste Spalte, bis die Matrix in einer oberen Dreiecksform vorliegt.

  4. Löse das resultierende obere Dreieckssystem, indem du die Variablen nacheinander von unten nach oben substituierst. Beginne mit der letzten Zeile und berechne die Variable xₙ. Setze diesen Wert in die vorherige Zeile ein, um die vorherige Variable xₙ₋₁ zu berechnen. Führe diesen Schritt weiter fort, bis du x₁ berechnet hast.
  5. Überprüfe die Lösung, indem du die berechneten Werte in das ursprüngliche Gleichungssystem einsetzt und überprüfst, ob die Gleich
Walther Bruhn Changed status to publish 6. Juni 2023
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